傅立葉級數（Fourier series）
/ Fourier: FOOR-ee-ay /
單一純音是一條正弦波——平滑、無止盡地重複。但小提琴的聲音、方形電脈衝、或一根棒子上凹凸不平的溫度分布，全都絕非純音。傅立葉（Joseph Fourier）驚人的主張是：幾乎「任何」重複的形狀，無論多麼參差，都能由頻率越來越高的純正弦與餘弦波之和組成，每個都加上恰當的權重。傅立葉級數就是那道配方：把週期函數寫成正弦與餘弦的無窮和。
對週期為 2L 的函數 f，級數為 f(x) = a_0/2 + 對 n 求和 [ a_n cos(n pi x / L) + b_n sin(n pi x / L) ]。常數項 a_0/2 是平均值；每個頻率為 n 的餘弦與正弦增添一層更細的漣漪。係數 a_n 與 b_n 說明每個頻率「含量多少」——它們由傅立葉係數公式算出，之所以可行是因為正弦與餘弦彼此正交，所以每一個都能被「量測」而不受其他干擾。低 n 抓住大致形狀；高 n 抓住尖角與細節。
傅立葉級數是分離變數法的天然搭檔。分離一個偏微分方程時，空間特徵函數恰好是正弦與餘弦，而疊加模態以吻合初始條件「就是」把那個初始條件展成傅立葉級數——係數正是你所需各模態的份量。它也是遠超偏微分方程的基礎工具：訊號處理、音樂、影像壓縮、量子力學全都建立在「複雜的波是簡單波之和」這個觀念上。誠實提醒：在 f 良好之處級數等於 f，但在跳躍處它收斂到中點並產生過衝（吉布斯現象），而收斂也有好幾種不同的意義。
方波（在週期前半為 +1、後半為 -1）的傅立葉級數是 (4/pi)[ sin x + (1/3) sin 3x + (1/5) sin 5x + ... ]——只有奇數正弦諧波，振幅以 1/n 衰減。把前幾項相加，一個可辨認的方形便浮現，伴隨的擺動會被更高的項撫平（跳躍附近除外）。
緩慢衰減的係數（這裡是 1/n）是函數中尖角與跳躍的特徵。
傅立葉級數表示的是「週期」函數。若你餵給它一個只定義在區間上的函數，它其實表示該函數的「週期延拓」——這可能在區間端點引入人為的跳躍。選擇正弦、餘弦或完整級數，等同於選擇奇、偶或一般的週期延拓。