分離變數法與傅立葉級數
週期延拓（periodic extension）
傅立葉級數完全由正弦與餘弦構成，而它們每一個都以週期 2L 永遠重複。所以無論傅立葉級數表示什麼，它「必定」以同樣的週期重複——別無選擇。若你餵給它一個只定義在某個長度為 2L 區間上的函數，級數看到的不是孤立的區間；它看到那個區間的無窮多份複本，首尾相接鋪滿整條直線。那一排複本就是週期延拓。
具體地說，f 的週期延拓取 f 在一個週期上的值，反覆蓋印出去：對每個 x，x + 2L 處的值等於 x 處的值。當你計算 f 在某區間上的傅立葉級數時，你其實在計算這個無窮週期鋪排的傅立葉級數。級數所做的一切——在哪裡收斂、在哪裡過衝——都由延拓後的函數支配，而非由你孤立的原始區間。
關鍵的後果發生在接縫處。除非函數在右端的值與在左端的值相符，否則週期複本對不齊，延拓便在每個區間邊界處有「跳躍」——即使 f 在內部看起來完全平滑。那個人造的跳躍正是端點處吉布斯振鈴與緩慢收斂的成因。選擇正弦、餘弦或完整級數，其實就是選擇奇、偶或原樣的週期延拓，各自以不同方式打造接縫，以吻合你的邊界條件並保持收斂乾淨。
取區間 -pi 到 pi 上的 f(x) = x 並週期延拓：你得到一個鋸齒波，從 -pi 爬升到 pi，再瞬間落回 -pi 重新開始。函數在每個週期內部平滑，卻在每個 pi 的奇數倍處跳躍 2 pi。它的傅立葉級數在內部收斂到 x，但在跳躍處收斂到 0（中點），每處都有一個吉布斯尖峰。
一個看似平滑的函數一旦週期鋪排，可能變成跳躍的鋸齒波——而級數看到的正是鋸齒波。
傅立葉級數「總是」表示週期延拓，絕非只是你的單一區間。你沒留意的端點值不符會在延拓中變成真正的跳躍，伴隨真正的吉布斯振鈴——所以在期待端點處平滑收斂之前，務必檢查 f 的兩端是否相符。
又称
另见