週期邊界條件（periodic boundary condition）

想像把金屬棒彎成一個環，使它的兩端相接、熔合——或研究沿著一個圓形迴路的熱流、或一道波沿著圓形水池邊緣繞行。此時已沒有真正的「邊緣」：離開右端就意味著從左端重新進入。週期邊界條件正是把這種環繞編碼起來：它要求解及其相關的導數，在兩端被等同之處彼此吻合，使幾何根本沒有邊界，只有一道必須隱形的接縫。

具體而言，在被捲成周長為 L 的圓的區間 0 <= x <= L 上，週期條件是 u(0, t) = u(L, t) 與 u_x(0, t) = u_x(L, t)：值與斜率在接合的兩端一致，故解作為週期為 L 的函數平滑地穿過接縫。自然的基本構件不再是純正弦或純餘弦，而是完整的週期 L 模態集——sin(2 pi n x / L) 與 cos(2 pi n x / L) 一同，或等價地複指數 e^(i 2 pi n x / L)。這正是圓上的普通傅立葉級數的場景，也正是週期條件與傅立葉分析如此緊密相連的原因。

凡是物理定義域真正自我閉合之處——一個環、一個環面、一個環狀反應器、或一個其單位晶胞重複的理想化無窮晶體——週期條件都是恰當的選擇；它在計算中也很受歡迎，因為它移除了棘手的邊緣，並讓你能使用快速傅立葉轉換。一個值得標示的告誡：與純諾伊曼問題一樣，拉普拉斯或帕松方程的週期問題有它自己的可解性約束，並且只能把解定到差一個常數，因為常數既滿足方程又尊重接縫。週期性移除了邊界，卻沒有移除過去由邊界所安頓的每一個微妙之處。