匹配初始條件（matching the initial condition）
分離變數法交給你一整族積木解——每個允許的特徵值對應一個分離模態——每個都已滿足偏微分方程與邊界條件。但它們有無窮多個，且它們本身並不知道你特定的起始狀態。最後、決定性的一步，是挑出模態的正確「組合」，使得在初始時刻，其和恰好重現給定的初始條件。那個擬合步驟就是匹配初始條件。
機制如下。用未知振幅疊加模態：u(x,t) = 對 n 求和 c_n X_n(x) T_n(t)。令 t = 0；時間因子坍縮為常數（常有 T_n(0) = 1），留下 u(x,0) = c_n X_n(x) 之和，它必須等於指定的初始函數 f(x)。但這個方程恰是要求把 f 展成特徵函數 X_n——一個傅立葉（正弦、餘弦或一般）級數！所以未知振幅 c_n 不過是 f 的傅立葉係數，用正交性透過係數積分算出。比對兩邊的係數，解便被釘定。
這正是先前每塊拼圖一次到位之處：特徵函數提供基底，正交性讓你以積分抽取每個 c_n，而傅立葉收斂保證那個和真的等於 f。一旦 c_n 已知，你只需還原時間因子 T_n(t)，便有了往後所有時刻的完整解——每個模態各按自己的時鐘演化。對在時間上為二階的波動方程，有兩個初始條件（位移與速度），所以你匹配兩組係數，通常一組展開初始形狀、一組展開初始速度。
在 0 < x < L 上、兩端為零、初始溫度為 f(x) 的熱方程。解為 u(x,t) = b_n sin(n pi x / L) e^(-k (n pi/L)^2 t) 之和。在 t = 0 時這是 b_n sin(n pi x / L) 之和 = f(x)，所以 b_n = (2/L) 乘 f(x) sin(n pi x / L) 從 0 到 L 的積分——正是正弦級數係數。初始資料挑選 b_n；指數因子隨後把每個模態往時間推進。
模態振幅「就是」初始資料的傅立葉係數——由正交性求得，再由時間因子往前帶。
這一步需要「齊次」邊界條件：唯有當所有模態都滿足同一個零邊界資料時，它們才構成有效的基底。若邊界條件非齊次，先減去一個穩態使其化為齊次，再對剩餘部分匹配初始條件。