廣義傅立葉級數（generalized Fourier series）
一般的傅立葉級數把函數寫成正弦與餘弦之和。但正弦與餘弦只是某一特定族的特徵函數——最簡單史特姆-劉維問題的那一族。廣義傅立葉級數做的是同一件事，只是改用手邊問題實際產生的任何特徵函數：圓盤上的貝索函數、球面上的勒壤得多項式，等等。
給定一族完備正交、權重為 w 的史特姆-劉維特徵函數 {u_n}，任何合理的函數 f 都可寫成 f(x) = c_n u_n(x) 之和，其中係數直接來自加權正交性：c_n = (f u_n w 的積分) / (u_n^2 w 的積分)。每個 c_n 是 f 指向 u_n 方向的「分量」——一個投影，正如把向量分解成沿互相垂直座標軸的成分。這些特徵函數就是為你問題的幾何與邊界條件量身打造的座標系。
這就是為什麼廣義傅立葉級數是分離變數法的普遍產物。你解空間特徵值問題、得到自然模態 u_n、把初始資料與解都用它們展開，於是偏微分方程便解耦為每個模態一個簡單的常微分方程。史特姆-劉維定理的完備性那一半保證該級數確實表示 f（在均方意義下），故毫無損失。一般三角傅立葉級數、傅立葉-貝索級數、勒壤得級數，全都是同一個想法換上不同特徵函數而已。
在半徑 1、邊緣 f = 0 的圓盤上，把溫度分布展開為傅立葉-貝索級數 f(r) = c_n J_0(alpha_n r) 之和，其中 alpha_n 是 J_0 的零點。每個 c_n = (f(r) J_0(alpha_n r) r 從 0 到 1 的積分) / (J_0(alpha_n r)^2 r 從 0 到 1 的積分)——權重 r 已內建其中。
與一般傅立葉同一套做法，只是基底元素與權重由幾何決定。
級數以均方（L^2）意義收斂到 f，這本身並不保證每一點的逐點收斂——在跳躍處它收斂到兩側的平均值，且吉布斯過衝會像三角級數那樣出現。f 越光滑，收斂越強（一致收斂）。