史特姆-劉維定理（Sturm-Liouville theorem）
/ shtoorm lyoo-VEEL /
這是皇冠上的明珠——讓分離變數法成為嚴謹方法、而非碰運氣技巧的那一條定理。它說史特姆-劉維算子的行為恰如對稱矩陣，只不過有無窮多個特徵值。如果你只記得本領域的一個結果，就記住這一個。
對正則史特姆-劉維問題 -(p u')' + q u = lambda w u，定理給出四個承諾。第一，所有特徵值都是實數，且有無窮多個，構成遞增數列 lambda_1 < lambda_2 < lambda_3 < ...，其中 lambda_n 趨向正無限。第二，每個特徵值都是單純的——其特徵函數在差一個常數倍下唯一。第三，不同特徵值的特徵函數對權重 w 正交：當 m 不等於 n 時，u_m u_n w 從 a 到 b 的積分為零。第四，特徵函數是完備的——它們構成基底，因此任何足夠好的函數 f 都能展開為廣義傅立葉級數 f = c_n u_n 之和，且此級數以均方（L^2）意義收斂到 f。
這四個事實中的每一個都對應實對稱矩陣 A 的一項性質：實數特徵值、正交特徵向量、以及完備特徵基底（有限維譜定理）。史特姆-劉維定理就是算子 L = -(d/dx)(p d/dx) + q 的無限維版本。它正是你之所以能把溫度、振動或位勢寫成定義域上自然模態的級數，並信任結果的根本原因。
對 -X'' = lambda X 配 X(0) = X(L) = 0，定理預測：實特徵值 lambda_n = (n*pi/L)^2（皆為正、遞增至無限），各為單純，特徵函數 sin(n*pi*x/L) 在 sin(m*pi*x/L) sin(n*pi*x/L) 從 0 到 L 的積分為零下正交，以及完備性——[0, L] 上每個 f 在均方意義下等於它的傅立葉正弦級數。四個論斷全部得證。
最簡單的史特姆-劉維問題的四項保證——實數、單純、正交、完備。
完整定理（特別是特徵值的單純性與 n 零點性質）是對正則問題敘述的。對週期邊界條件，特徵值可能是二重的（餘弦與正弦共用一個特徵值）；對奇異問題，完備性仍成立，但譜可能含有連續部分。