龐加萊不等式（Poincare inequality）
/ pwankah-RAY /
把一個函數釘在區域邊界上為零，然後問：這函數在內部能變多大？直觀上，若它的斜率（梯度）很小，那它從邊緣的零出發，在必須回落之前爬不了多遠。龐加萊不等式把這說精確：在有界區域上，一個在邊界上為零的函數，除非它的梯度很大，否則它不可能很大。掌控斜率就掌控了函數本身。
乾淨的陳述針對有界定義域 U 上的空間 H^1_0(U)：存在一個只依賴於定義域（其大小與形狀）的常數 C，使得對每個 H^1_0 中的 u，u^2 在 U 上的積分至多是 C 乘 |grad u|^2 在 U 上的積分。換言之，||u||_{L^2} 至多是某常數乘 ||grad u||_{L^2}。與之密切相關的弗里德里希斯不等式本質上是同一個陳述，常針對邊界跡為零的函數引用；這兩個名字在偏微分方程中往往可互換使用。那個常數無法去除——它確實隨定義域直徑增長（同樣的最大斜率下，較長的弦能彎得更遠）。關鍵地，沒有邊界條件這不等式就失效：一個非零常數函數梯度為零卻不為零，所以你無法用它（消失的）梯度去界住它的 L^2 範數。這正是為什麼 H^1_0 中的邊界錨定不可或缺。
這個小不等式為何是個巨大的槓桿：它說在 H^1_0 上，狄利克雷能量 |grad u|^2 的積分（即 H^1 半範數）光憑自己就與完整的 H^1 範數等價。光這一個事實就交出了狄利克雷問題的強制性——雙線性形式 a(u, u) = |grad u|^2 的積分由下界住 ||u||_{H^1}^2——而強制性正是拉克斯-米爾格拉姆為了交給你弱解的存在與唯一性所需的假設。所以龐加萊不等式是站在幾乎每一個橢圓邊界值問題存在定理背後的沉默主力，它也釘住了最小的狄利克雷特徵值：最佳（最小）常數 C 是 U 上負拉普拉斯第一特徵值的倒數。
在 (0, L) 上，對於 u(0) = u(L) = 0 的 u，不等式讀作 u^2 的積分至多是 (L/pi)^2 乘 (u')^2 的積分，而常數 (L/pi)^2 是尖銳的——等號由 u(x) = sin(pi x/L)（最低特徵函數）達到。把長度 L 加倍，常數變為四倍：一條兩端錨定的較長弦，在相同的梯度能量下，能在均方意義上彎四倍多。
區間上尖銳的龐加萊常數是 (L/pi)^2，由第一個正弦模態達到。
這不等式需要某種方式來消滅常數——要嘛在（部分）邊界上為零（H^1_0 版本），要嘛平均值為零（整個 H^1 上的版本）。兩者皆無時它就是假的：常數就是反例。而且它需要有界定義域（至少在某個方向上有界）；在整個 R^n 上它失效，因為有空間可以在不付出梯度代價下攤開。