空間 H^1_0（the space H^1 sub zero）
/ aitch-one-not /
大多數邊界值問題藉由固定解在區域邊緣上的值來把解釘住——對狄利克雷問題，你說邊界上 u = 0。但索伯列夫函數可能粗糙、且只在零測度集合的意義下有定義，而邊界本身就是零測度，所以「u 在邊界上等於零」並非顯然有意義。空間 H^1_0 是把這個邊界條件乾淨地編碼進函數空間本身的辦法，這樣你就再也不必提及邊界。
其構造是取極限式的。先從在邊界某鄰域內恰為零的平滑函數出發（它們在 U 內具緊緻支撐）。然後把 H^1_0(U) 取為你能以這類函數的 H^1 極限所觸及的一切——形式上即「平滑緊緻支撐函數在 H^1 範數下的閉包」。直觀地說，這些是當你趨近邊界時淡出為零的 H^1 函數；在性質良好的定義域上，跡定理使這成為字面真理，給出 H^1_0 = 邊界跡為零的那些 H^1 函數。因為邊界條件如今已烘焙進「身為成員」這件事裡，狄利克雷問題的弱形式就只在 H^1_0 內搜尋它的解，而試驗函數也取自 H^1_0——於是分部積分中所有的邊界項自動消失。
這個空間正是那些魔法定理棲身之處。在 H^1_0 上（有界定義域），龐加萊不等式成立，意味著單憑狄利克雷能量 |grad u|^2 的積分就能控制整個 H^1 範數——若你被迫在邊界上為零，就不可能有「函數很大而梯度很小」的情況。光這一個事實就交出了拉克斯-米爾格拉姆所需的強制性，這就是為什麼狄利克雷問題的存在理論如此乾淨。齊次（零）邊界資料直接住在 H^1_0 中；非齊次邊界資料則藉由減去一個帶正確邊界值的固定函數、再對 H^1_0 中的餘項求解來處理。
在區間 (0, 1) 上，函數 u(x) = x(1 - x) 平滑、在兩端點為零、且導數可積，所以它落在 H^1_0(0, 1) 中。相對地，常數函數 1 落在 H^1(0, 1) 中（它平方可積且導數為零），但不在 H^1_0 中，因為它在端點不為零。H^1_0 是由邊界條件所挑選出來、嚴格更小的子空間。
H^1_0 是 H^1 中遵守零邊界條件的那部分——嚴格小於 H^1。
在整個 R^n 上（無邊界）H^1_0 等於 H^1——沒有東西可供「為零」。這個空間只編碼「零」（齊次）狄利克雷資料；非零邊界值不是由 H^1_0 本身表示，而是由它的一個仿射平移來表示。而且 H^1_0 捕捉的是狄利克雷條件，不是諾伊曼條件，後者的施加方式不同（它作為「自然」邊界條件從弱形式中自行掉出來）。