跡定理（trace theorem）
這裡有個真正的謎題。一個索伯列夫函數只在零測度集合的意義下有定義，而一個區域的邊界是零測度。所以「u 在邊界上的值」理應是無意義的——你可以更改 u 在整個邊界上的值，而不改變它作為索伯列夫函數的身份。然而邊界條件正是邊界值問題的全部重點。跡定理化解了這個局面，它證明只要你用正確的方式來讀，H^1 函數的邊界值畢竟是有意義的。
解方是以連續性、而非逐點求值來定義邊界值。從平滑函數出發，那裡限制到邊界是顯然的。跡定理說這個邊界限制運算在索伯列夫範數下連續：若 u_n 在 H^1 中收斂到 u，則邊界限制 u_n（在邊界上）也在邊界 L^2 範數下收斂。所以這個運算唯一且連續地延拓到整個 H^1——那個延拓就是跡算子，記為 T u 或 u 限制到邊界。它不是字面上的逐點求值；它是你被迫進入的那個極限。定量地說，跡落在比 L^2 略弱的空間中——邊界上的分數索伯列夫空間 H^{1/2}——精準捕捉了「一個內部 H^1 函數在它低一維的邊緣上交出半階導數」這項事實。
這正是使整套狄利克雷故事變嚴謹的東西。空間 H^1_0 如今可乾淨地刻畫為跡為零的那些 H^1 函數——邊界條件與函數空間恰好對齊。非零狄利克雷資料 g 恰當地可容許，正當它落在跡空間 H^{1/2} 中時；此時存在某個取那個邊界值的 H^1 函數（跡算子映成 H^{1/2}），你把它減去以化約到齊次問題。沒有跡定理，弱解的「u 在邊界上等於 g」這句話將是空洞的；有了它，這就是一個關於邊界上 L^2（事實上 H^{1/2}）函數的精確陳述。
在單位圓盤上，一個 H^1 中的函數 u 在邊界圓上有一個跡，它落在圓的 L^2 中。然而你不能規定那個邊界跡為任意的 L^2 函數而期望有 H^1 延拓——只有落在圓上較小空間 H^{1/2} 中的跡，才能延拓為內部的 H^1 函數。一個狂野不連續的邊界值（沿圓的一個跳階）在 L^2 中但不在 H^{1/2} 中，而它確實不可能是任何有限能量函數的跡。
H^1 函數的跡住在 H^{1/2} 中，而非整個 L^2——在邊緣處損失了半階導數。
跡不是逐點求值——對一個固定的粗糙 u，並沒有單一的「在某邊界點的值」，只有由連續性定義的 L^2／H^{1/2} 跡。此外定理需要邊界相當正則（利普希茨就夠）；在碎形或帶尖點的邊界上，跡可能失常。而且 L^2 函數（沒有導數控制，即 H^0）根本沒有定義良好的跡——你至少需要 H^1 所提供的那一點點平滑性。