索伯列夫範數（Sobolev norm）
如果說索伯列夫空間是粗糙函數居住的房間，那麼索伯列夫範數就是量測每個函數有多大的那把尺。但與普通的「大小」不同，它衡量的不只是函數本身，還包括它的斜率與曲率——直到所選階數的各階導數。一個數值溫和、但導數劇烈擺動的函數會被判為大；範數看得見擺動，而不只是高度。
具體地說，u 的 W^{k,p} 範數把 u 及其直到 k 階的所有弱導數的 L^p 大小加總起來。對核心情形 p = 2（即空間 H^k），範數平方是一個乾淨的積分和：||u||_{H^k}^2 = (u^2 + |grad u|^2 + ... + |k 階導數|^2) 在 U 上的積分。特別對 H^1，||u||_{H^1}^2 = u^2 的積分 + |grad u|^2 的積分——第二塊 |grad u|^2 的積分就是著名的狄利克雷能量，即彎曲的代價。因為這個 H^k 範數來自一個內積 (u, v)_{H^k} = (u v + grad u . grad v + ...) 的積分，空間是希爾伯特空間，而正是這個內積結構驅動了拉克斯-米爾格拉姆與伽遼金。人們也談到半範數，它只保留最高階導數那一項而忽略 u 本身；在合適的空間上（如 H^1_0），由龐加萊不等式，半範數本身就已是一個完整的範數。
為何重要：在索伯列夫範數下收斂，比在 L^2 中收斂強得多。若 u_n 在 H^1 中收斂到 u，那麼不僅函數彼此靠近，它們的梯度也彼此靠近——所以你無法一邊偷渡愈來愈狂野的振盪、一邊假裝在收斂。這種對導數的掌控，正是為什麼偏微分方程中的先驗估計要陳述為對索伯列夫範數的界：界住 ||u||_{H^k} 就同時釘住了解與它的平滑度，而索伯列夫嵌入定理再把有限的索伯列夫範數兌現為貨真價實的連續性或有界性。
比較 (0, pi) 上的兩個函數：u(x) = sin(x) 與 v(x) = sin(100 x)。兩者的 L^2 大小大致相同，所以 L^2 這把尺判它們一樣大。但 v' = 100 cos(100 x) 陡了一百倍，於是 (v')^2 的積分約為 (u')^2 積分的一萬倍。在 H^1 範數下，v 遠遠大於 u——索伯列夫範數懲罰了 L^2 所忽視的快速振盪。
H^1 範數透過梯度項感受得到振盪；L^2 範數對它視而不見。
同一個索伯列夫範數有許多不同但等價的公式（平方和對開根號、含或不含交叉項）；它們給出相同的拓撲，所以「那個」索伯列夫範數只在等價的意義下固定。H^1 半範數（只看梯度）只有在像 H^1_0 這種排除了常數的子空間上才是貨真價實的範數——在整個 H^1 上它只是半範數，因為非零常數的梯度為零。