弱導數（weak derivative）

你要如何對一個帶尖角的函數求導？在那裡普通導數會跳變、二階導數似乎要爆掉。弱導數就是答案：它用分部積分當橋樑，把求導動作從粗糙函數轉移到一個完美平滑的試驗夥伴身上。它保留了分部積分所要求的一切，同時悄悄放掉了「函數必須平滑」這項要求。

用一步說清楚其機制。對於乖巧的函數 u，分部積分說：(u 的導數) 乘 phi 的積分 = 負的 u 乘 (phi 的導數) 的積分，其中 phi 是任意在邊界附近為零的平滑隆起函數（邊界項消失，因為 phi 在那裡是零）。右邊從不對 u 求導——它只對 phi 求導。於是我們把這個恆等式轉成定義：若對每個這樣的試驗函數 phi 都有 g 乘 phi 的積分 = 負的 u 乘 (phi 對 x_i 的偏導數) 的積分，我們就說函數 g 是 u（在 x_i 方向）的弱導數。只要古典導數存在，它就滿足這條式子，所以弱導數與普通導數一致，並把它延拓到沒有逐點導數的函數上。更高階的弱導數只是多做幾次分部積分，每翻一次貢獻一個負號：(u 的 k 階弱導數) 乘 phi 的積分 = (-1)^k 乘 u 乘 (phi 的 k 階導數) 的積分。

這是整座索伯列夫大廈所倚靠的拱心石——索伯列夫空間正是那些弱導數（直到某階）存在且夠可積的函數之集合。弱導數與分布導數是同一個想法，只是限定在結果為一個貨真價實的函數、而非如 delta 那般奇異之物的情形。一個提醒：並非每個函數都有「是函數」的弱導數——絕對值 |x| 有（其弱導數是符號函數），但階梯函數沒有，因為對一個跳變求導會產生狄拉克 delta，那是個分布而非函數。所以「弱導數」是介於古典導數與全面分布之間、性質良好的中間地帶。