分布（distribution）
分布是廣義函數的嚴謹版本。其想法是：定義一個對象不靠它在各點的值，而靠它配對到每個平滑試驗函數時所回傳的那一個數。把它想成一台量測儀器：你從來看不到那個東西本身，只看到你每推進一個探針時它給出的讀數。分布正是這樣一台儀器，而兩個分布相同，恰好就是它們對每個探針都給出相同讀數的時候。
確切地說，分布是試驗函數空間（在某有界區域外為零的平滑函數）上的連續線性泛函。線性是指它尊重探針的加法與伸縮：與 phi + psi 配對得到兩個讀數之和，與 c 乘 phi 配對則把讀數乘上 c。連續是指若一列探針乖乖地安頓下來（它們的值與所有導數都收斂，且全都支撐在某個固定的有界集中），則讀數也收斂。分布 T 與探針 phi 的配對記作括號 (T, phi)。一個一般的局部可積函數 f 透過規則 (f, phi) = f 乘 phi 的積分而成為分布，於是函數作為特例而坐落於分布之中。
分布之所以重要，是因為它是求解偏微分方程的自然場域：每個分布都能無限次微分，點源與跳躍都被允許，而轉換方法與基本解所產生的那些棘手對象，全都能自在地住在這裡。代價是一條真正的限制——一般而言你不能把兩個分布相乘——因此整套理論都是圍繞著「什麼能做、什麼不能做」而謹慎建立的。
狄拉克 δ 是這樣一個分布：它對任何探針 phi 的讀數就是 (delta, phi) = phi(0)。它是線性的（把 phi + psi 讀成 phi(0) + psi(0)）且連續，但不存在任何一般函數 f 使得 f 乘 phi 的積分對每個探針都等於 phi(0)——所以 delta 是一個貨真價實、卻不是函數的分布。
一個分布完全由它指派給每個試驗函數的那個線性、連續的讀數所辨認。
一個常見的混淆：一般而言分布在單一點沒有良好定義的值（delta 在 0 處就沒有）。它只有與探針配對、透過一個類似積分的括號時才有意義——絕不能逐點求值。