狄拉克δ分布（Dirac delta distribution）
/ dee-RAHK /
狄拉克 δ 是「瞬間的點」這個概念的精確版本：某物的一個單位全部塞在單一位置，別處什麼都沒有。一個點電荷、某一瞬間的鎚擊、原點處的單位質量——物理學家長久以來用一個「函數」來描述它們：在某一點為無限大、其餘處處為零，總積分卻為一。這樣的函數並不存在。δ 透過把這個概念改寫成分布，使它變得合法。
作為分布，δ 的定義不靠值，而靠它對探針的作用：把 δ 與任何試驗函數 phi 配對，只回傳探針在原點的值，(delta, phi) = phi(0)。這一條規則就是整個對象。集中在點 a 的平移 δ 在該點做同樣的事，(delta-a, phi) = phi(a)。你可以把 δ 想成一列越來越高、越來越窄的隆起的極限——每一個都是積分為一的真函數，逐漸變窄變高——使得隆起乘 phi 的積分趨近 phi(0)。δ 就是這個擠壓過程的理想終點，被精確地、而非近似地捕捉下來。
δ 在偏微分方程中無所不在，因為它是完美的點源。一個算子的基本解，按定義就是它對 δ 源的回應；熱核是某一點、某一刻釋放的單位熱量所造成的溫度；格林函數則是一個被塑形以符合邊界條件的 δ 回應。在傅立葉轉換下，δ 變成常數 1，這正是為什麼空間中的一點對應到所有頻率均等——這是分布轉換最乾淨的例子。
取隆起 b_n(x)：當 |x| < 1/(2n) 時為 n、其餘為 0——每一個都是面積為 1 的細高方塊。當 n 增大，b_n 乘 phi 的積分對每個平滑探針 phi 都收斂到 phi(0)。δ 就是這個過程的精確極限：(delta, phi) = phi(0)，無需任何近似。
δ 是「面積為一、逐漸變窄的隆起」之極限的捕捉——它的讀數永遠是探針在尖峰處的值。
δ 不是函數，在 0 處沒有值；寫成「delta(0) = 無限大」是一種虛構。同樣地，delta 乘 phi 的積分只是配對 phi(0) 的簡寫，並不是某個函數的真正黎曼或勒貝格積分。