緩增分布（tempered distribution）

緩增分布是一種在無限遠處足夠溫馴、因而具有傅立葉轉換的分布。一般分布被允許在遠處狂野地增長，而那種狂野正是會毀掉轉換的東西。藉著限制到「增長至多為多項式式」的分布——被 x 的某個冪所界住——我們得到一族讓傅立葉轉換完美運作的對象。「緩增」一詞意指被節制、不准增長太快。

其精確定義把較大的施瓦茨探針配對到較小的分布上：緩增分布是施瓦茨空間 S 上的連續線性泛函，而非緊支撐試驗函數上的。因為施瓦茨探針本就比任何冪都衰減得快，它們能吸收一個只以多項式增長的分布，使配對保持有限。緩增分布的空間記作 S-prime。它包含 delta、每個多項式、每個有界函數、實 k 的 e^(i k x)，以及 1/x 的主值——但它排除像 e^(x^2) 這種指數爆炸的東西，後者增長太快，任何施瓦茨探針都馴服不了。

緩增分布之所以重要，是因為它正是分布傅立葉轉換的歸宿。偏微分方程理論中你想轉換的一切——點源、平面波、多項式、緩慢增長的資料——都是緩增的，而轉換把 S-prime 映回自身。這正是讓轉換方法、色散關係與頻率空間論證得以嚴謹（而非僅形式地）進行的關鍵。