傅立葉轉換法（Fourier transform method）
假設你要在整條無限長直線上解一個偏微分方程，那裡沒有牆壁、也沒有可供反射的邊界。分離變數法與傅立葉級數是為有限的箱子設計的；在無限區域上，自然的工具是傅立葉轉換。它的想法是：不把任意函數寫成離散正弦波之和（級數），而是寫成所有可能頻率 xi 的純波 e^(i*xi*x) 的連續混合，並逐一追蹤方程對每個頻率所做的事。
具體而言，函數 f(x) 的傅立葉轉換是新函數 f-hat(xi) = integral from -infinity to infinity of f(x) e^(-i*xi*x) dx。它記錄了「f 之中含有多少頻率 xi 的成分」。它對偏微分方程之所以威力強大，原因在於微分規則：對導數 df/dx 取轉換，只是把 f-hat 乘上 i*xi。於是當你對像熱方程 u_t = k u_xx 這樣的偏微分方程在 x 變數上取轉換時，每個 x 導數都化為一個 i*xi 因子，整個偏微分方程便對每個固定的 xi 塌縮成一個關於時間的常微分方程：d/dt of u-hat(xi, t) = k (i*xi)^2 u-hat = -k*xi^2 u-hat。這是一行常微分方程，其解為 u-hat(xi, t) = u-hat(xi, 0) e^(-k*xi^2 t)。
這個方法永遠是三步驟：對偏微分方程在空間上取轉換，得到一個簡單的、關於轉換變數的常微分方程；用轉換後的初始資料解那個常微分方程；再把轉換反轉回實體的 x。這是推導熱核與達朗貝爾公式最乾淨的途徑，而中間那一步乘上 u-hat 的因子（此處為 -k*xi^2）正是該微分算子的符號（symbol）。誠實的限制是：轉換積分需要 f 衰減（或至少是緩增的），積分才有意義，所以這套乾淨的機制最自在的場合，是在無限區域上、對於在無窮遠處消失的資料。
對整條直線上的 u_t = k u_xx 配上 u(x,0) = f(x)：在 x 上取轉換得 u-hat_t = -k*xi^2 u-hat，解出 u-hat(xi,t) = f-hat(xi) e^(-k*xi^2 t)，再反轉。由於 e^(-k*xi^2 t) 本身就是一個高斯函數的轉換，反轉時這個乘積就化為與該高斯函數的卷積——而那個高斯函數正是熱核。
取轉換、解一個小小的常微分方程、再反轉——熱核就免費掉了出來。
轉換把困難的偏微分方程送成簡單的常微分方程，但工作量轉移到了最後一步：反轉轉換可能才是真正困難的部分，往往需要卷積定理、一張已知轉換對的表，或圍道積分。