算子的符號（symbol）
微分是個難以直接拿來計算的滑溜東西，但有一本魔法字典能把它變成普通的代數。傅立葉轉換把導數送成乘法：微分一次變成乘以 i*xi（其中 xi 是頻率變數）。把這本字典套用到整個微分算子上，便蹦出一個多項式——它的符號。符號就是被改寫成純代數的算子，而讀懂它，是你不用解任何東西就能分類算子的方法。
取一個線性微分算子，比方 L = sum of a_alpha(x) D^alpha（各種階數偏導數帶係數的組合）。它的符號由代換規則得到：把每個導數 D_j 換成 i*xi_j，於是算子變成頻率向量 xi = (xi_1, ..., xi_n) 的多項式。例如拉普拉斯算子 Delta = u_xx + u_yy 變成 (i*xi_1)^2 + (i*xi_2)^2 = -(xi_1^2 + xi_2^2)；熱算子 d/dt - Delta 變成 i*tau + (xi_1^2 + ...)。這個規則成立，是因為 e^{i x . xi} 是每個常係數微分算子的特徵函數：把算子作用上去，只是把它乘以符號。符號因而精確地告訴你，算子如何作用於每一個頻率。
為什麼這要緊：符號把每個關於微分算子的問題，轉化成一個關於多項式的問題。算子的型別、它的可逆性、其解的平滑性、以及它如何作用於各頻率的波，全都由符號讀出——這是通往傅立葉分析、基本解、以及整套現代（擬微分）理論的門戶。誠實的細則：對變係數而言，符號既依賴點 x 也依賴頻率 xi，而乾淨的傅立葉圖像只在常係數時才精確（否則它變成一種局部近似）。就分類而言，真正要緊的是最高次的部分，即主符號。
把平面波 u = e^{i(xi_1 x + xi_2 y)} 代入拉普拉斯算子：u_xx = -xi_1^2 u 且 u_yy = -xi_2^2 u，故 Delta u = -(xi_1^2 + xi_2^2) u。乘在 u 上的那個數 -(xi_1^2 + xi_2^2) 就是符號——算子對頻率 (xi_1, xi_2) 之波的作用，只用一次代換、無需其餘微積分便讀了出來。
把每個導數換成 i 乘以頻率，算子便成了多項式——它的符號——捕捉了它對每個波的作用。
完整符號也包含低階項；要把偏微分方程分類為橢圓／拋物／雙曲，你捨去那些而只保留最高次的部分，即主符號——那才是掌管定性行為的部分。