主符號（principal symbol）

若你想知道一輛車高速時如何操控，你研究它的引擎與底盤，而非杯架。對微分算子而言，掌管其本質性格——型別、平滑性行為、擾動如何傳播——的部分，是最高階的部分。主符號就是你只把那些最高階項餵進符號字典所得到的東西，把低階的雜物丟掉。它是被顯現出來的算子引擎。

從完整符號出發（把每個導數 D_j 換成 i*xi_j），只保留最高微分階的項。對二階算子，那是來自主部 A u_xx + 2B u_xy + C u_yy 的 xi 之齊次二次多項式，即二次型 -(A xi_1^2 + 2B xi_1 xi_2 + C xi_2^2)。所有一階與零階項都被丟棄。只保留這一塊的用意在於，型別完全由它決定：方程為橢圓型，當這個二次型對任何 xi 不等於 0 都不為零時（它是定的）；為拋物型，當它退化時（某個非零 xi 使它為零但它不變號）；為雙曲型，當它不定時（它取兩種正負號）。在兩變數時，這個判準恰好重現判別式規則 B^2 - AC。

主符號是恰當的工具，因為與低階項不同，它在變數變換下乾淨地變換（它表現得像餘切空間上一個良定義的函數），而且它是在每個漸近、高頻極限中存留下來的東西。它把兩變數的判別式推廣到任意維度，並支撐起橢圓正則性、奇異性沿著特徵（主符號的零集）的傳播、以及整套擬微分與傅立葉積分算子的演算。誠實的提醒：它所忽略的低階項，對實際求解方程並非無關緊要——它們可以改變唯一性、衰減與細部——但它們絕不改變型別。