廣義函數（generalized function）

有時我們需要的對象並不符合一般的函數概念。一個完美的點電荷、一記瞬間的鎚擊、集中在單一點上的質量密度——每一個都想把有限的某物塞進寬度為零的位置，這在該處將需要無限大的值。沒有任何老實的函數做得到。廣義函數是一種讓這類理想化對象變得精確而合法的辦法，方法是把我們所說的「函數」之意義恰好放寬一點，好讓它們進來。

訣竅是不再追問這個對象在每一點的值是多少，而只問它對一個平滑、行為良好的探針做了什麼。你從不直接去秤那個點電荷；你只透過一個行為像積分的配對，量它對某個平滑試驗函數的總效應。一個廣義函數完全由它配對到每個平滑探針時產生的那一堆數所決定。一般函數仍然算數：每一個都給出規則「乘上我再積分」，而兩個一般函數恰好相等時，它們對每個探針才會給出相同的答案。於是熟悉的東西一樣都沒丟，卻多得了像點源這種真正全新的對象。

這個想法之所以重要，是因為物理方程不斷產生這類理想化：熱方程或拉普拉斯方程的點源、振動弦上的一記突發脈衝、把電子當成點來看的電荷密度。廣義函數為這一切提供了嚴謹的歸宿，而且了不起的是，能讓我們把它們想微分幾次就微分幾次。在現代理論中，廣義函數的精確名稱是分布，而那些平滑探針就是試驗函數。