分布導數（distributional derivative）

古典微分拒絕作用在粗糙的東西上——一個尖角沒有斜率、一個跳躍沒有導數，而一個點源甚至不是函數。分布導數是一種永不拒絕的微分方式。它為每個分布指派一個導數，而關鍵在於，每當一般導數存在時它都與之一致。所以它毫無損失，卻把微分延拓到那些古典上根本沒有導數的對象上。

其定義是一個受啟發的單一動作：把導數從粗糙對象挪到平滑探針上。對一般函數，分部積分說 u' 乘 phi 的積分等於負的 u 乘 phi' 的積分，因為 phi 在兩端為零（它是緊支撐的）。把這個恆等式當作定義：分布 T 的導數是分布 T'，其對任何探針的讀數為 (T', phi) = -(T, phi')。探針是平滑的，所以 phi' 永遠存在；因此 T' 永遠存在。再次微分只是把又一個導數挪到 phi 上，所以每個分布都能無限次微分，且永不損失正則性——這與古典分析形成驚人的對比。

這是整個學科的引擎。黑維塞階梯的導數是 delta；帶尖角函數的導數是它的左右斜率、尖角處不額外加什麼；絕對值的二階導數是兩倍的 delta。偏微分方程的弱解，正是透過讓導數以這種分布意義作用而定義的，這恰恰使得震波、點源與非平滑資料都成為可接受的。