分布解（distributional solution）

偏微分方程的許多自然解，平滑度不足以用一般方式代入方程——一道震波前緣、密度的跳躍、一個點源。分布解是一種辦法：即使某物的古典導數並不存在，也能宣告它是解，做法是要求它以「平均、對探針積分」的意義、而非逐點地滿足方程。正是它讓那些粗糙卻物理上真實的解得以算數。

其要領是把方程中所有的導數都解讀為分布導數。取一個偏微分方程 L u = f。古典解使 L u 在每一點都等於 f。分布解則要求分布 L u 等於分布 f，依分布導數的定義，這意味著對每個試驗函數 phi 都有 (u, L 的伴隨 phi) = (f, phi)——每個導數都已透過分部積分挪到平滑探針上，那裡它總是存在。所以 u 本身只需是一個分布；微分的重擔已完全轉嫁到 phi 上。若 u 恰好平滑，反向分部積分顯示它也是古典解，所以在平滑解上毫無損失。

分布解之所以重要，是因為對困難的情形而言，它是自然的、且往往是唯一合理的概念。守恆律中的震波、基本解本身（它以分布意義求解 L E = delta），以及邊界值問題的弱解全都住在這裡。誠實的警示是：分布解不一定唯一。對非線性守恆律，許多弱解可以符合同一組資料，需要一個額外的熵條件來挑出物理的那一個。