积分的线性性

积分与构造新函数的两种运算——函数相加与缩放——配合得很好。对和积分得到积分之和,而缩放一个函数其积分按同一倍数缩放。一言以蔽之,积分是一个线性映射——它与函数的代数运算可交换,正如人们期望一个求平均或累积的运算所应有的那样。

确切地说,若 f 与 g 可积,a、b 为标量,则 af + bg 可积,且 (af + bg) 的积分等于 a 乘 f 的积分加 b 乘 g 的积分。等价地,可积函数之集是一个向量空间,而积分是其上的线性泛函。对复标量,这包括把 i 提到积分外。

线性性听来显然,但其证明是分层的:对简单函数容易且直接,再经单调收敛推广到非负函数,再经正部/负部的拆分推广到带符号与复值函数。一个微妙之处:非负函数积分的可加性,即 f+g 的积分等于 f 的积分加 g 的积分,必须在一般情形之前证明,而它本身依赖于收敛机制。