外代数

外代数 Lambda(V) 是反对称张量的家园，配备一种称为楔积的乘法。你从张量代数出发，强加一条规则来构造它：对每个向量 v 都有 v ^ v = 0。这一条规则就强制出反对称性 v ^ w = -(w ^ v)，于是交换两个因子就翻转符号。

作为向量空间它分裂为分次的块：Lambda(V) = Lambda^0 (+) Lambda^1 (+) ... (+) Lambda^n，其中 Lambda^0 是标量，Lambda^1 是 V 本身，而 Lambda^k 由 k 个向量的楔积张成。对 n 维的 V，各维数是二项式系数 n choose k，整个代数的维数为 2^n。超过次数 n 时一切为零，因为多于 n 个向量的楔积必然重复某个基向量。

这是有向体积与行列式的天然代数。顶层块 Lambda^n V 是一维的，而一个线性映射在其上的作用就是乘以它的行列式；这是 det 最干净、最不依赖基的定义。微积分中的微分形式恰是余切空间外幂的截面，所以斯托克斯定理与叉积都安居于此。

从概念上说，外代数是多重线性代数的反对称那一半；对称代数则是它的镜像。对称张量彻底遗忘次序（给出多项式），而外张量只通过一个符号记住次序（给出定向）。把这两幅图并置，正是看清行列式与多项式何以是兄弟的关键。