外幂

第 k 个外幂 Lambda^k V 是反对称 k 张量的空间——所有楔积 v1 ^ ... ^ vk 的张成。其元素称为 k 向量，它们编码有向的 k 维内容：Lambda^1 V 是 V（方向），Lambda^2 V 是有向平面元，Lambda^3 V 是有向体积元，依此类推。

其维数是二项式系数：当 dim V = n 时，dim Lambda^k V = (n choose k)。一组基由楔积 e_{i1} ^ ... ^ e_{ik} 给出，取遍严格递增的指标集 i1 < ... < ik，于是你在数 n 元基的 k 元子集。这就是为何当 k 从 0 跑到 n 时，外幂先增后减。

顶层外幂 Lambda^n V 很特殊：它是一维的，因为唯一长度为 n 的严格递增指标集就是整组基。线性映射 T : V -> V 在这条线上诱导出映射 Lambda^n T，它不过是乘以一个标量，而这个标量恰好就是 det T。所以行列式并非公式上的偶然；它就是 T 在一维顶层外幂上的作用。

更一般地，Lambda^k T 作用在 Lambda^k V 上，在一组基下其矩阵元就是 T 的 k 阶子式。这把整族子式打包起来，而 Lambda^k T 的特征值是 T 的 k 个不同特征值之积——这是通往诸如“det 是特征值之积”以及特征多项式各系数等事实的最干净路径。