楔（外）积

楔积 v ^ w 把两个向量结合成一个反对称对象，用以度量它们所张平行四边形的有向面积。它的唯一定律是反对称性：v ^ w = -(w ^ v)。令 w = v 便强制出 v ^ v = 0，这是说退化平行四边形（两边相等）面积为零——一个你早已在几何上相信的事实。

更一般地，k 个向量的楔积 v1 ^ v2 ^ ... ^ vk 是它们所张平行多面体的有向 k 维体积。交换任意两个因子翻转符号，重复任意因子则使整个东西归零。所以线性相关性可由楔积探测：向量相关，当且仅当它们的楔积为零。

在坐标中，楔积收集那些反对称的组合。例如在 R^3 中，把 (a ^ b) 按基 e_i ^ e_j 读出，便给出叉积 a x b 的各分量。而对一个 n 阶系统，v1 ^ ... ^ vn 等于矩阵的 det 乘以体积形式 e1 ^ ... ^ en——楔积正是行列式诞生之处。

请当心：楔积是分次交换的，而非交换的。一个 p 次形式 alpha 与一个 q 次形式 beta 满足 alpha ^ beta = (-1)^(p*q) * (beta ^ alpha)。两个 1 形式反交换（(-1)^1 的情形），但一个 2 形式可以越过另一个 2 形式交换。追踪这些符号，是处理微分形式的日常功课。