对称代数

对称代数 Sym(V) 是外代数的镜像：你不是强制反对称，而是强制交换。你从张量代数出发，对所有向量强加 v*w = w*v，于是因子的次序不再要紧。其分次块 Sym^k V 由完全对称的 k 张量组成——即在置换各因子下不变的乘积。

它的妙处是一个你早已认识、只是改了装的等同：Sym(V) 典范地就是 V 的坐标多项式代数。若 V 有基 x_1, ..., x_n，则 Sym(V) 是 x_1, ..., x_n 上的多项式环，而 Sym^k V 是 k 次齐次多项式的空间。所以“k 次对称张量”与“k 次齐次多项式”是同一个对象。

维数遵循多重集计数：dim Sym^k V = (n + k - 1 choose k)，即 n 个变量中 k 次单项式的个数。把它与外幂 (n choose k) 对照：随着 k 增大，对称张量无界地持续增长，因为你可以自由重复变量；而楔积在超过次数 n 后便消亡，因为重复是被禁止的。

把这两个代数并置能澄清许多事。反对称（外）张量编码有向体积、行列式与形式；对称张量编码多项式、二次型与矩。一般的张量幂（在特征零下）分解为对称部分、反对称部分外加更奇异的块——这正是对称群表示论的起点。