张量积

张量积 V (x) W 是为了打包“把 V 中的一个向量乘以 W 中的一个向量”这个想法而构造的新向量空间。它的基本砖块是记号 v (x) w，称为简单张量，而一般元素是这种记号的有限和。整个构造只为一个目的而存在：把同时对两个变量线性的映射，转化为对单一变量的普通线性映射。

其规则恰好是双线性所强制的那些。你可以把标量穿过 (x)：(a*v) (x) w = a*(v (x) w) = v (x) (a*w)。你可以在任一槽位拆开求和：(v1 + v2) (x) w = v1 (x) w + v2 (x) w，右边也一样。除此之外不假设任何东西。若 V 维数为 m、基为 e_i，W 维数为 n、基为 f_j，则乘积 e_i (x) f_j 构成 V (x) W 的一组基，所以 dim(V (x) W) = m*n。

为何费这番功夫？双线性映射 B : V x W -> U 很别扭，因为它在乘积集合 V x W 上并不线性。张量积正是让 B 分解为单一线性映射 V (x) W -> U 的场所，该映射把 v (x) w 送到 B(v, w)。于是“对两个向量双线性”变成了“对一个张量线性”，线性代数的整套工具便可重新登场。

一个让初学者绊倒的提醒：v (x) w 并不能天真地等同于矩阵 v*w^T，而且 V (x) W 中的大多数元素都是无法写成单个 v (x) w 的求和。简单张量只是张成这个空间，并不能穷尽它。分辨“是单个乘积”与“是若干乘积之和”，正是张量秩这个真正困难问题的种子。