简单（可分解）张量

简单张量是那种能写成单个乘积 v (x) w（高阶时为 v (x) w (x) u）、无需求和的张量。它们是张量积的原子：恰好就是秩 1 的张量，而 V (x) W 的每个元素都是它们的有限和。但“是若干原子之和”与“是一个原子”大不相同。

具体地，把 V (x) W 与 m 行 n 列的矩阵等同起来，方法是把 v (x) w 送到外积 v*w^T。于是简单张量恰好就是秩 1 矩阵，即各行都是同一行之倍数的那些。像 [1, 0; 0, 1] 这样的 2x2 矩阵显然秩为 2，所以它是两个简单张量之和，本身并不简单。大多数张量都是这样。

简单张量有多稀有？它们在 V (x) W 中构成一片薄而弯曲的曲面（Segre 簇），维数仅约为 m + n - 1，嵌在维数为 m*n 的整个空间之中。所以一个“随机”张量以概率 1 不是简单的。简单张量张成了一切，却几乎不占据任何体积。

为何在意？识别一个张量何时简单，是张量代数中的第一个判断：一个简单的 v (x) w 把双线性相互作用分解为来自各槽位的独立贡献，而真正的求和则把各槽位纠缠在一起。量子纠缠恰恰就是说：V (x) W 中的态向量不是简单的。