CP 分解

CP（典范多元）分解把一个张量写成若干简单的、秩 1 张量之和：对三阶张量，T = sum over r of a_r (x) b_r (x) c_r。每一项都是每个模各取一个向量的外积，而项数就是你瞄准的秩。它是奇异值分解最直接的推广——后者把矩阵写成若干秩 1 碎片之和 u_r*sigma_r*v_r^T。

它最引人注目的性质是本质唯一性。对矩阵，秩 1 分解极不唯一：你可以在相等奇异值之间旋转奇异向量，或只要保持乘积不变就随意混合各因子。对三阶或更高阶的张量，项数足够少的 CP 分解在不可避免的自由度——缩放每个向量与重排各项——下唯一，Kruskal 定理给出一个精确的条件。

正是这种唯一性使 CP 成为数据分析的主力：当一个张量确实源自若干秩 1 模式之和（少数跨模作用的隐藏“因子”）时，CP 能恢复这些因子，而不受困扰矩阵因子分析的旋转含糊性。这是盲源分离、化学计量学（荧光光谱）与潜变量模型背后的原理。

诚实的告诫。最小 CP 秩恰是那个（困难的、NP 困难的）张量秩，所以你通常是拟合一个假定的秩，而非找出真正的秩。最佳秩 r 逼近甚至可能根本不存在，因为秩 r 张量的集合不闭合（边界秩现象），于是拟合算法可能发散——因子范数爆炸、而其相消却使拟合改善。用它，但要提防这些不稳定性。