张量秩

张量 T 的秩，是其和等于 T 的简单张量的最少个数 r。对一个三阶张量而言，就是分解 T = sum over k=1..r of a_k (x) b_k (x) c_k 中的最少项数。它直接推广了如下事实：秩为 r 的矩阵是 r 个项 u_k*v_k^T 之和，每一项都是一块秩 1 的碎片。

你对矩阵秩所信赖的一切，对三阶或更高阶的张量统统失效。秩可能取决于你在实数还是复数上工作：同一个实张量所需的实秩 1 项，可能多于复秩 1 项。最大秩可以超过显然的维数界，而且秩不是下半连续的，于是一列秩 2 的张量可以收敛到一个秩 3 的张量。

最后这条失效，逼出第二个概念——边界秩：使 T 成为秩至多为 r 的张量之极限的最小 r。边界秩可以严格小于秩，它正是快速矩阵乘法算法的主宰：削减乘法指数依赖于某个特定小张量的边界秩。

请注意：在有理数上精确计算张量秩是 NP 困难的，即便在实数上判定它也很微妙。这是矩阵与张量之间一道真实的悬崖——对矩阵，秩离一次高斯消元只有一步之遥；对张量，秩却跻身最难钉死的不变量之列。在你弄清指的是哪种概念之前，对任何关于三维数组的干净“秩”断言都应心存疑虑。