张量与多重线性代数
多重线性映射
多重线性映射接受若干个向量作为输入，且在固定其他变量时对每个槽位分别线性。两个槽位时它是双线性映射 B(v, w)；k 个槽位时它是 k 重线性：在每个位置上都有 B(..., a*x + b*y, ...) = a*B(..., x, ...) + b*B(..., y, ...)。固定除一个以外的全部参数，你便得到一个普通线性映射；这就是其定义性特征。
例子俯拾皆是。内积 <u, v> 是双线性的（在实数上）。行列式对 n 阶矩阵的各列是 n 重线性的。叉积是双线性的。双线性型是输出为标量的多重线性映射；多重线性映射也可输出向量，如代数中的乘法。
决定性的事实是：多重线性映射在乘积空间上并不线性。B(v, w) 对配对 (v, w) 整体而言不线性：B(2v, 2w) = 4*B(v, w)，而非 2*B(v, w)。所以照原样无法用普通线性代数的机器处理它们——这恰是张量积被发明出来要修正的问题。
于是有了那句要旨：张量是多重线性映射的万有接收者。V1 x ... x Vk 上的每个 k 重线性映射都唯一地经由 V1 (x) ... (x) Vk 上的单个线性映射分解。所以“多重线性”与“张量”是同一思想的两种视角——同一台机器的输入面与线性化面。
det([c1 | c2 | ... | cn]) is n-linear: det(..., a*x + b*y, ...) = a*det(..., x, ...) + b*det(..., y, ...)
行列式是各列上多重线性（且交错）映射的原型。
留意“在乘积上多重线性”与“在直和上线性”之别：直和 V (+) W 上的线性映射 L 满足 L(2v, 2w) = 2*L(v, w)，而双线性 B 把输入当作乘积一起放缩，给出 B(2v, 2w) = 4*B(v, w)。参数相同，规则却截然不同。
又称
另见