直和

直和是一种拆分毫不含糊的子空间之和。当 V = U + W 且 U ∩ W = {0} 时，我们记 V = U ⊕ W，并称之为直（内）和。交集为零正是关键所在：它迫使 V 中每个向量 v 只有唯一一种分解 v = u + w（u 属于 U，w 属于 W）。没有向量能在两部分间挪移，于是这两个子空间成为 V 真正独立的坐标。

还有第二种外在的风味。给定任意两个空间 U 与 W——未必住在同一个 V 之内——你可以构建一个全新的有序对空间 U ⊕ W，元素为 (u, w)，按分量相加与缩放。这正是 R^2 字面上等于 R ⊕ R 的方式。内在与外在版本在典范同构意义下一致：内在的 V = U ⊕ W 经 v = u + w <-> (u, w) 与外在的对空间同构。一种视角分解你已有的空间；另一种从部件组装一个新空间。

直和是把一个困难问题拆成若干独立的简单问题的最干净方式。若算子 T 在 V = U ⊕ W 中同时保持 U 与 W，则 T 分裂为对各部分的限制，其矩阵成为块对角的。特征子空间分解、准素分解，乃至最终的约当理论与谱理论，都是把 V 写成直和、让算子逐块作用的故事。

对三个或更多加项而言，交集为零的条件比看上去更微妙。V = U_1 ⊕ U_2 ⊕ U_3 并不仅因这些空间两两交于 {0} 就得到保证；你需要每个 U_i 与其余之和交于 {0}，等价地零向量只有全零分解。两两独立严格弱于联合独立——一个值得记住的陷阱。