子空间格

把空间 V 的全体子空间收进一个结构，并按包含关系排序：U <= W 意为 U 落在 W 之内。最小的子空间是 {0}，最大的是 V 本身，二者之间嵌套着由直线、平面与超平面织成的丰富网络。这个有序集合就是子空间格——一个捕捉 V 各部分如何拼合的单一对象。

格是这样一种有序集：其中任意两元都有一个最大下界（它们的交）与一个最小上界（它们的并）。对子空间而言，U 与 W 的交是它们的交集 U ∩ W——同时落在两者之内的最大子空间。它们的并是它们的和 U + W——同时含住两者的最小子空间。于是交集与求和并非任意运算，而是彼此对偶的格交与格并。

深刻之处在于这个格是模的：每当 U <= W，模律 U + (X ∩ W) = (U + X) ∩ W 对一切 X 成立。这一个恒等式正是维数公式 dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U ∩ W) 背后的引擎，并解释了子空间为何如此干净地咬合。不过这个格并非分配的——这恰是为何两条不同直线与第三条直线会让朴素的集合式代数失灵。

为何要关心整个格，而不逐个看子空间？因为许多问题实质关乎关系：V 何时是若干部分的直和、哪些子空间在某算子下不变、各特征子空间彼此如何安放。以格为先的思考，把一堆零散的包含关系换成一个你能作为整体来推理的有组织结构。