子空间之和

给定 V 的两个子空间 U 与 W，它们的和 U + W 是一切能写成 u + w（u 属于 U，w 属于 W）的向量构成的集合。直观上你把两个子空间倒进同一个房间，让它们借加法自由混合。与并集不同——并集参差不齐且通常对加法不封闭——和自动是一个子空间，事实上是同时含住 U 与 W 的最小子空间。

“最小含住”这一描述是更干净的定义：U + W 是一切含 U 与 W 的子空间之交集，等价地是 U 连同 W 的张成。写明白即 U + W = {u + w : u 属于 U, w 属于 W}。两种描述一致，无论哪种你都得到一个对加法与缩放封闭的真子空间，作为它们的并位于子空间格中 U 与 W 之上。

标志性结果是维数公式：dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U ∩ W)。你把两个维数相加，再减去被重复计数的重叠部分。若 R^3 中两个平面交于一条直线，则和的维数为 2 + 2 - 1 = 3——它填满整个 R^3。此公式是容斥原理在线性代数中的回响，也是通往直和的门户——在直和中重叠被迫为零。

一处值得尊重的微妙：表示 u + w 一般并不唯一。U + W 中的同一个向量能以多种方式拆成 u + w，恰恰发生在 U ∩ W 非平凡之时——重叠中的任何向量都可在两部分之间挪移。要求拆分唯一，正是把普通的和提升为直和的那一额外条件。