拉盖尔方程
/ Laguerre: lah-GAIR /
氢原子的径向部分——电子波函数如何依赖于到原子核的距离——在提出一个指数衰减因子后，归约为一个命名方程。拉盖尔方程（Laguerre's equation）就是那个方程：其多项式解塑造了每个原子轨道径向结构的方程。
其基本形式为 x y'' + (1 - x) y' + lambda y = 0，定义在半轴 x >= 0 上，原点 x = 0 处有正则奇点（无穷远处有非正则奇点）。用级数求解得到一步递推；要求解在无穷远处增长不太快，迫使 lambda 取非负整数 n，级数截断成拉盖尔多项式 L_n(x)。氢原子实际需要的是缔合拉盖尔方程 x y'' + (alpha + 1 - x) y' + lambda y = 0，其多项式解 L_n^{alpha}(x) 带有一个与角动量相关的附加参数 alpha。
这里的截断条件正是把主量子数、进而把氢的能级 E_n 正比于 -1/n^2 量子化的东西——里德伯公式正是从“要求径向级数终止”中落下来的。拉盖尔多项式的自然权函数是 [0, infinity) 上的 e^{-x}，这正是它们与束缚电子的指数尾部配合得如此之好的原因。它们也出现在极坐标下的量子振子中，以及在对以 e^{-x} 为权的积分作高斯-拉盖尔数值积分中。
对 lambda = 2，方程 x y'' + (1 - x) y' + 2 y = 0 截断为 L_2(x) = (x^2 - 4x + 2)/2。这样的多项式乘以 e^{-x/2} 和 x 的某个幂，便构成了径向波函数，其节点正是你在原子壳层中所见的。
拉盖尔多项式提供了氢轨道的径向节点。
L_n、尤其是缔合 L_n^{alpha} 的归一化约定在数学与物理教材间不同（有的含 n! 因子）。把氢波函数与某张表对照时，务必确认约定，否则你的归一化常数会出错。