合流超几何方程
超几何方程有三个正则奇点；许多物理方程只有两个有趣的，因为第三个已跑到无穷远并与另一个合并。合流超几何方程（confluent hypergeometric equation）就是当你让超几何方程的两个奇点相撞合并时所得的——“合流”字面意思就是汇流到一起。它是支配量子力学束缚态问题的精简表亲。
它是 x y'' + (c - x) y' - a y = 0，也称库默尔方程，只有两个参数 a、c。它在 x = 0 处有正则奇点，而在无穷远处现在有一个非正则奇点（合并的遗留）。它在原点处的弗罗贝尼乌斯解是合流超几何函数 1F1(a; c; x) = sum_k [(a)_k / (c)_k] x^k / k!，常写作 M(a, c, x)。与 2F1 不同，这个级数对所有 x 都收敛，因为坏奇点已被推到无穷远。当参数 a 为非正整数时，级数终止为多项式——而这正是埃尔米特与拉盖尔多项式作为特例重新出现的方式。
这一个方程就是量子束缚态的脊梁。氢原子的径向方程与谐振子在分离出各自的渐近指数行为后都归约为库默尔方程；要求 1F1 终止（使波函数保持可归一化）正是把能量量子化的东西。误差函数、不完全伽马函数、库仑波函数全都是伪装的 1F1。所以合流超几何方程是若干看似不同的特殊函数之下共同的发动机舱。
取 a = 1、c = 2，级数 1F1(1; 2; x) = sum x^k/(k+1)! = (e^x - 1)/x。取 a = -n（负整数）则截断：1F1(-n; 1/2; x^2) 在缩放意义下重现埃尔米特多项式。同一模板视参数 a 而定，给出光滑的超越函数或一个多项式。
参数 a 决定 1F1 是无穷超越函数还是一个终止的多项式。
有两个标准解：库默尔的 M(a, c, x) 在原点正则，特里科米的 U(a, c, x) 抓住无穷远处的正确行为。物理问题通常需要在一端有限、在另一端衰减的线性组合——只用 M 可能给出不可归一化的答案。