超几何方程
勒让德、切比雪夫以及许多别的方程看似各自独立的生物，但其中大多数其实是同一只动物换了衣裳。超几何方程（hypergeometric equation）就是那个主方程——一个带三个可调参数的二阶模板，它把惊人数量的经典物理方程作为特例包含其中。学会它一次，你就学会了一整座动物园。
它是 x(1 - x) y'' + [c - (a + b + 1) x] y' - a b y = 0，含三个参数 a、b、c。它恰好有三个正则奇点，按惯例位于 x = 0、x = 1 和 x = infinity——而且值得注意的是，任何恰有三个正则奇点、再无其他奇点的二阶线性方程都能变换成它。它在 x = 0 处的弗罗贝尼乌斯解是超几何级数 2F1(a, b; c; x) = sum_k [(a)_k (b)_k / (c)_k] x^k / k!，其中 (a)_k 表示升幂乘积 a(a+1)...(a+k-1)。该级数是一个宏大的推广：巧选参数即可把 2F1 化为几何级数、二项级数、对数、勒让德与切比雪夫多项式以及完全椭圆积分。
它的价值在于统一与杠杆。一旦你掌握了 2F1 的收敛性、递推、积分表示与变换公式，每个特例都免费继承它们，这正是计算机代数系统在内部把如此多函数都经由超几何形式处理的原因。诚实的告诫在于收敛：定义级数只对 |x| < 1 收敛，要在单位圆盘之外使用该函数——或当 c 为非正整数、级数失效时——你需要解析延拓以及联系三个奇点的连接公式。
普通的几何级数是最简单的特例：2F1(1, b; b; x) = sum x^k = 1/(1 - x)。而 2F1(-n, b; b; -x) = (1 + x)^n 重现了二项式定理。所以你早已熟悉的日常级数，不过是超几何家族的小小角落。
几何级数与二项级数，不过是 2F1 无数面孔中的两张。
若 c 为零或负整数，标准级数无定义（分母出现零），且两个弗罗贝尼乌斯指数之差成为整数——带对数的第二解可能闯入。真正钉死这个方程的是“三个正则奇点”这一刻画，而非级数公式。