等距

等距是保持距离的映射：||T u - T v|| = ||u - v|| 对一切 u, v 成立。对线性映射，这与保持范数 ||T v|| = ||v|| 相同，因为 T(u - v) = T u - T v。它移动空间却不拉伸、不收缩、不撕裂——只旋转与反射。

代数上，线性等距恰为 T^* T = I。这使 T 单射（它有左逆），并迫使它的列标准正交。由极化，保持范数会自动保持完整的内积，故等距亦保持角度，不只保持长度。

把等距与酉算子分开的关键微妙之处在于满射性。T^* T = I 给出左逆，却未必给出右逆。在有限维中，从 V 到 V 的线性单射自动是满射，故一个自映射等距就是酉的。这种区别只在不同空间之间、或在无穷维中才显现。

经典的无穷维反例是序列上的右移，(x_1, x_2, ...) -> (0, x_1, x_2, ...)。它保持每个范数（是等距，T^* T = I），却漏掉了一切第一坐标非零者，故非满射且 T T^* != I。一个不是酉的等距，正是无穷维的标志。