不变子空间格

把 V 的每一个 T 不变子空间都收进一个集合，记作 Lat T。它不只是一张清单——它有结构：给定两个不变子空间，它们的交和它们的和仍然不变。所以 Lat T 是一个格，按包含关系排序，交（meet）= 交集、并（join）= 和，底是 {0}、顶是 V。

这个格的形状是算子的指纹。标量算子（T = c I）最狂野：每个子空间都不变，所以 Lat T 是完整的子空间格。另一极端，单个约当块最温顺：它的不变子空间构成一条单链，每维一个，全序排列。特征值互异的可对角化算子居中，由 k 条特征直线生出含 2^k 个子空间的布尔格。

出人意料的是：在结构意义上，不可对角化算子的格更丰富、更有趣，而非更贫乏。一个幂零约当块把它的不变子空间逼成一条刚性的单链，编码了整个约当结构。抽象地研究 Lat T 是通往无穷维中著名不变子空间问题的门径——希尔伯特空间上每个有界算子是否都有非平凡的闭不变子空间？在 C 上的有限维里，由舒尔定理，答案总是肯定的。