公共不变子空间

现在想象的不是一个算子，而是一整族算子——V 上的一个算子集合 S。公共不变子空间是这样一个子空间 W，S 的每个成员都同时让它不变：对 S 中每个 A 都有 A(W) 包含于 W。它是所有算子同时尊重的同一个子空间。

找到公共不变子空间是开启同时约化的钥匙。如果一族算子共享一个非平凡的真公共不变子空间，你就能在一组共用的基里把它们全部化为分块三角；如果不存在这样的子空间，这族就称为不可约。这一对照框出了核心问题：一族算子何时必有这样一个子空间？

Burnside 定理在复数上给出最深刻的答案：一族算子是不可约的（除 {0} 和 V 外没有公共不变子空间）当且仅当它张成 V 上全部算子构成的整个代数。所以拥有公共不变子空间，等同于没能生成一切——共享结构意味着这族在代数上是小的。对于可交换族，故事更干净：它们总至少共享一个公共特征向量，这为同时三角化埋下种子。