雙曲幾何（hyperbolic geometry）

兩千年來幾何學家都相信幾何只有一種——歐幾里得的——而他的第五公設（過直線外一點恰有一條平行線）非真不可。一代代人試圖由其餘公理證明它，全都失敗。雙曲幾何就是當你保留歐氏所有公理、唯獨把這一條換成它的反面時所得到的幾何：過直線外一點，存在無窮多條永不與該直線相交的直線。它是一套完整、一致的幾何，邏輯上與歐氏一樣紮實——只是不同。

圖像是這樣的。取一條直線 L 與線外一點 P。在歐氏平面中，過 P 恰有一條直線不碰 L。在雙曲平面中，繞著 P 旋轉一條直線：轉動之際，有一整片開放的方向扇面，其中的線永不碰到 L，這扇面由兩條特殊的「極限」直線界定，它們趨近 L 卻永不相觸。嚴格落在此扇面內的每條線都是平行線（不相交線），所以平行線有無窮多條。後果接連而至：每個三角形的內角和小於 180 度，且差額隨三角形增大而增大；矩形不存在；兩個對應角相等的三角形自動全等，所以「保持形狀放大圖形」這回事根本不存在。

約在 1830 年，三人各自獨立發現了它——高斯（Gauss，他怕被嘲笑而祕而不宣）、匈牙利人波約（Janos Bolyai），以及最早發表的俄國人羅巴切夫斯基（Lobachevsky）。一個誠實而關鍵的重點：這並沒有證明歐幾里得錯了。平行公設與其餘公理彼此獨立——既不能被它們證明、也不能被它們否證——所以兩種幾何都一致。非歐幾何沒有推翻歐氏；它揭示了「那唯一的幾何」一直以來其實是一種選擇，而數十年後，它將為愛因斯坦提供描述彎曲時空的語言。