雙曲三角形的面積（area of a hyperbolic triangle）
在雙曲平面中如何求三角形的面積？在歐氏中你會底乘高再除以二——但雙曲幾何裡有一件遠為奇異而簡單的事。雙曲三角形的面積只依賴它的三個角，完全不依賴邊長。具體地，面積 = k^2 *（pi - A - B - C），其中 A、B、C 是以弳度表示的三個角，k 是平面的絕對曲率常數。括號內的量（pi 減內角和）就是角虧；所以面積不過是角虧乘上一個固定常數。
讀出立即的後果。第一，每個雙曲三角形的角虧介於 0 與 pi 之間，故其面積嚴格有界——存在一個最大的三角形，即三頂點都落在無窮遠（三角皆 0）的「理想」三角形，面積恰為 k^2 * pi。無論你把頂點推得多遠，都造不出面積任意大的雙曲三角形。第二，既然角度本身就定出面積，三角相同的兩個三角形必有相同面積；再結合角角角的資料，這迫使它們全等。沒有放大形狀這回事——相似三角形自動相等。
這是「非歐幾何在種類上、而非僅在程度上不同」的最乾淨例證。證明回到角虧的可加性：三角形切成數塊，各塊的角虧相加，面積亦然，故角虧與面積成正比，再追究理想三角形的情形便釘住了常數。這結果在球面上的孿生兄弟是吉拉爾定理，那裡面積改與角盈成正比。兩者都是高斯-博內關係的特例，不過其微分幾何的「為什麼」屬於後面的領域。
取 k = 1，三角為 A = 60、B = 60、C = 60 度，即各 pi/3。內角和為 pi，故角虧為 pi - pi = 0，面積為 0——但真正的雙曲三角形三角不可能都是 60 度；那個和會迫成退化的一點。一個三角為 30、30、30 度（各 pi/6）的真三角形，角虧為 pi - pi/2 = pi/2，故面積 = pi/2，約 1.571。
面積 = k^2 (pi - A - B - C)：僅由角度決定，並以理想三角形的 k^2 pi 為上界。
最驚人的是邊長缺席：在雙曲幾何中相等的角迫出相等的面積，因而全等，所以「相似但較大」的三角形根本不存在——AAA 在這裡給出的是全等，而非僅僅相似。