絕對曲率常數（absolute constant of curvature）
三種古典幾何——雙曲、歐氏、橢圓／球面——並非三個互不相干的世界，而是由一個數調節的單一家族。把它叫做曲率 K（或用與之相關的長度 k）。當 K 為負，你身在雙曲幾何；當 K 恰為零，你身在平坦歐氏幾何；當 K 為正，你身在球面／橢圓幾何。同一條三角形面積律一次寫下三者：面積與角虧（K 為正時則為角盈）成正比，而比例常數由 K 設定。歐幾里得不過是邊界情形 K = 0，那裡角虧坍為零，內角和鎖在 180 度。
最深的後果，是高斯等人所稱的「絕對長度單位」之存在。在歐氏幾何中沒有天然的量尺——你可以把整個平面縮放而毫無內蘊改變，這正是藍圖與比例模型行得通的原因。但在彎曲幾何中，常數 K 把一個確定的長度織進結構裡：某個特定距離可純粹由它所產生的角度被挑出（回想平行角 Pi(p)，它把長度繫於角度而不用任意尺規）。蘭伯特早已預見此事；他指出非歐平面表現得像一個半徑 1/sqrt(K) 的球面，對球面為實、對雙曲平面為「虛」。
為何稱它「絕對」？因為是幾何定下單位，而非反過來——常數是織進空間裡的，不是由測量員選定的。當三角形相對於 1/sqrt(K) 縮小時，每種幾何看起來都像歐氏（球面或雙曲平面的小區域近乎平坦），這正是我們最先發現平坦幾何、以及宇宙在人類尺度上看似歐氏的原因。一個誠實的界線：一個曲面為何帶有某個 K——曲率的微分幾何說明——屬於微分幾何；在這裡 K 是把三種幾何組織成一個連續家族的單一旋鈕。
把統一的三角形面積律寫成 面積 = (1/|K|) * |角虧或角盈|（角以弳度計）。對半徑 R 的球面，K = 1/R^2，故 1/|K| = R^2，面積 = R^2 * 角盈——正是吉拉爾。對 K = -1/k^2 的雙曲平面，面積 = k^2 * 角虧。當 K -> 0，常數 1/|K| 爆增而角虧縮為 0，乘積趨於有限的歐氏面積，內角和凍結在 180 度。
單一常數 K 調出整個家族：K < 0 雙曲、K = 0 歐氏、K > 0 球面——並把絕對長度織進彎曲空間。
唯有平坦（K = 0）的歐氏幾何沒有絕對長度、容你自由縮放；兩種彎曲幾何都定下一個天然單位。一個空間「為何」有其曲率的問題屬於微分幾何，不在此處。