非歐幾何：雙曲與橢圓
角虧（angle defect）
每個學童都學過：三角形三內角恰好加成 180 度。這個令人安心的事實是歐氏幾何的一條定理——它依賴平行公設，並在雙曲平面中失效。在那裡，每個三角形的內角和嚴格小於 180 度。三角形的角虧正是它差了多少：角虧 = 180 度 -（角 A + 角 B + 角 C），在雙曲幾何中恆為正數。
這個「虧」並非錯誤之意——它是貨真價實的幾何量，且表現得極為漂亮。它具可加性：從一頂點引一線把三角形切成兩塊，兩塊的角虧之和等於整個三角形的角虧，正如面積相加那樣。小三角形角虧小（微小的雙曲三角形近乎歐氏，內角和略小於 180）；大三角形角虧大。角虧可趨近但永不達到 180 度的上限，唯有三頂點都跑到無窮遠、三角都縮為 0 的「理想」三角形才達到。
它的重要性在於角虧度量面積。雙曲三角形的面積恰與其角虧成正比——這是一條乾淨、精確、歐氏中沒有對應物的定律，因為在歐氏中角虧恆為 0 而面積卻可自由變化。（球面上的鏡像對應是角盈，那裡內角和超過 180 度。）正因如此，你僅憑量三個角就能定出雙曲三角形的面積，完全不必動用尺規。
一個雙曲三角形的三角為 50、60、65 度。內角和為 175 度，故角虧為 180 - 175 = 5 度。另一個較大的三角形三角為 30、40、50，和為 120，角虧 60 度，因而面積是前者的十二倍——面積隨角虧而定，不隨邊長而定。
角虧 = 180 度減內角和；在雙曲平面中它具可加性，並恰與面積成正比。
在歐氏幾何中角虧恆為 0，所以這概念在那裡是空的——它純屬非歐的想法。別把雙曲的角虧（和小於 180）和球面的角盈（和大於 180）混為一談；它們符號相反。
又称
另见