吉拉爾定理（Girard's theorem）
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畫在球面上的三角形有多大？在平坦平面上你會需要底與高；在球面上卻有一個遠為驚人的答案，吉拉爾定理（紀念吉拉爾（Albert Girard），更早由哈里奧特（Harriot）發現）給出了它。球面三角形的面積只依賴它的角。精確地，在半徑為 R 的球面上，面積 = R^2 *（A + B + C - pi），其中 A、B、C 是以弳度計的三個角。量 (A + B + C - pi) 就是角盈；所以面積等於 R^2 乘以角盈——一條乾淨、精確的定律。
看出原因最巧妙的方式如下。「月形」是兩個大圓之間如橘瓣的楔形，角為 A 的月形面積是 2 * R^2 * A（它是整個球面面積 4 pi R^2 的 A/(2 pi) 分數，再加倍，因為月形從極到極橫跨兩次）。如今把三角形的三邊延伸為完整的大圓，便把球面切成這個三角形、它的對徑鏡像副本，以及三對月形。把三個月形的面積相加會以可控的方式重複計入該三角形，而帳一算，恰好坍縮為面積 = R^2 (A + B + C - pi)。這是全幾何中最令人滿意的簡短證明之一。
此定理觸及甚廣。它是雙曲定律 面積 = R^2 (pi - A - B - C) 的球面手足，兩者都是宏大的高斯-博內定理（把總曲率繫於拓樸）的雛形特例。在實用上，它讓測量員與天文學家僅憑角度測量就算出球面上的面積，並顯示存在最大的球面三角形（角盈以半球面積為上限）。誠實的提醒與球面本身相同：因為大圓相交兩次，這在球面上最為乾淨，而把對徑點認同便得到橢圓幾何。
取一頂點在北極、兩頂點在赤道相隔 90 度經度的三角形，故 A = B = C = 90 度 = pi/2。則 A + B + C - pi = 3 pi/2 - pi = pi/2，面積為 R^2 * pi/2。驗算：此三角形恰是球面的八分之一，球面總面積為 4 pi R^2，其八分之一確實是 pi R^2 / 2。
面積 = R^2 (A + B + C - pi)：球面三角形的面積不過是 R^2 乘以其角盈，由三個月形相加得證。
驚人之處在於邊長從不出現——僅憑角度就定出面積，是雙曲角虧面積律的球面鏡像。記得在乘以 R^2 之前先把角盈化為弳度。