極限平行線（limiting parallel）
在雙曲平面中，「平行」分裂成兩種真正不同的關係，而極限平行線是兩者之間的特殊臨界情形。固定一條直線 L 與線外一點 P。在過 P 而永不碰 L 的所有直線中，有兩條特別突出：當你把一條射線繞 P 從會碰 L 的方向轉向不碰 L 的方向時，恰有一條最先「剛好碰不到」L 的射線。每一側各有一條這樣的臨界射線，這兩條就是過 P 對 L 的極限平行線。嚴格落在它們之間的每條線都是「超平行線」，朝兩個方向都偏離 L。
極限平行線之所以特殊，在於其漸近行為。極限平行線永不碰到 L，卻在沿它朝某一方向前進時無限接近 L——兩者之間的縫隙趨向 0 卻永不閉合。朝另一方向則兩線拉開。這與歐氏平行線截然不同，後者永遠保持固定間距。極限平行線與「由 P 到 L 的垂線」所夾的角，恰是平行角 Pi(p)，僅由距離 p 決定。相對地，超平行線則共有唯一一條公垂線，並朝兩側都遠離 L。
所以雙曲平面有兩種不相交的線：兩條在無窮遠處緊貼 L 的極限（漸近）平行線，以及無窮多條偏離而去的超平行線。當人們說雙曲平面中一點對某直線有「無窮多條平行線」時，兩種都算在內。一個誠實的細微處：極限平行性與方向有關——一條線是在某個特定行進意義下對 L 為極限平行——這正是嚴謹文獻把兩條極限平行線與其餘發散者區分開來的原因。
在龐加萊圓盤中，把 L 設為一條直徑，P 設為其上方一點。過 P 的兩條弧奔向 L 在邊界圓上的兩個端點——這就是極限平行線，只在「無窮遠處」（圓周上）與 L 相會。過 P 而端點嚴格落在那兩端點之間的任一弧都是超平行線；它與 L 共有一條公垂線，並朝兩側漂離。
兩條剛好錯過 L 的臨界射線是極限平行線；嚴格落在它們之間的一切都偏離 L。
把所有雙曲「平行線」當作同一種是錯的。極限（漸近）平行線趨近一條線卻不相交；超平行線共有一條公垂線並發散——只有前者實現了平行角。