龐加萊圓盤模型（Poincare disk model）
/ pwan-kah-RAY /
雙曲幾何在你能真正畫出它之前，總像個傳聞。模型是一幅住在普通歐氏空間裡的具體圖像，其中所有雙曲公理都成真——而龐加萊圓盤是最受喜愛的一個，正是埃舍爾（Escher）「圓之極限」木刻的世界。整個無限的雙曲平面被擠進一個開圓盤裡。點就是嚴格落在邊界圓內部的點；邊界本身是「無窮遠」，並不屬於此平面。玄機在於尺被扭曲了：愈靠近圓周距離拉伸得愈劇烈，所以一個朝邊緣漂去的物體在紙上必須無止境地縮小，卻永遠到不了邊。
這模型附帶一本你必須學會的字典。「直線」（測地線）不是歐氏直線；它要麼是圓盤的直徑，要麼是與邊界圓正交（成直角）相交的圓弧。兩條這樣的弧若在圓盤內不相交就「平行」；既然過一條弧外一點可以塞進無窮多條互不相交的弧，平行公設便如雙曲幾何所要求的那樣失效。此模型的招牌優點是保角（conformal）：它忠實保留角度，所以兩弧之間的雙曲角等於你在紙上量得的普通歐氏角。
為這份忠實，模型犧牲了直度與均勻的尺度：雙曲直線看起來是彎的，而相等的雙曲長度在邊緣附近看起來相差懸殊。這是關於所有這些模型的關鍵誠實處——沒有哪個是「真正的」雙曲平面；每個都是它忠實卻變形的地圖，正如圓地球的平面地圖。圓盤保住角度而犧牲形狀；克萊因模型則反其道而行。它們是同一套幾何的不同圖卡。
畫一個單位圓盤。一條直徑就是一條雙曲直線。另畫一條圓弧，從一個邊界點連到另一個，兩端都與圓周成 90 度相交——那是第二條雙曲直線。取一個不在直徑上的點：你可以過它畫無窮多條這樣的弧、在圓盤內永不碰到直徑，所以它有無窮多條平行線——而你用量角器讀到的每個角都是真正的雙曲角。
直線是直徑或與圓周成直角相交的弧；模型保住角度，卻在邊緣附近嚴重扭曲距離。
模型不是幾何本身——圓盤是雙曲平面變形卻忠實的地圖。它的直線只因所選圖卡而看似彎曲；就內蘊而言它們完全是直的，而圓周是不可及的無窮遠，不是一道牆。