上半平面模型（upper half-plane model）

上半平面模型是同一個雙曲平面的第二幅肖像，不畫在圓盤裡，而畫在普通平面中某條水平線上方的整個區域。點是所有 y 嚴格大於 0 的 (x, y)——x 軸上方的一切。x 軸本身連同高處單一的「無窮遠點」，扮演無窮遠邊界的角色，不屬於此平面。如同圓盤，尺被扭曲：高度以 ds =（歐氏長度）/y 度量，所以同一段歐氏步距，愈靠近 x 軸就計為愈多的雙曲距離。

它的字典出了名地乾淨。雙曲「直線」要麼是從 x 軸筆直向上的鉛直射線，要麼是圓心落在 x 軸上的半圓（因而與該軸成直角相交）。如同圓盤，這模型保角——把每個角都取得恰好正確——但人們常偏愛它，因為它的公式極美。雙曲平面的剛體運動化為莫比烏斯變換 z -> (az + b)/(cz + d)，係數為實數且 ad - bc > 0，作用於複座標 z = x + iy。正是這場與複分析的聯姻，使數論學家與物理學家最先伸手取用此模型。

具體地，要求兩點間的雙曲距離，先找過此兩點的那條唯一的鉛直線或圓心在 x 軸上的半圓，再沿它對 ds =（路徑長）/y 積分。兩條鉛直線互為極限平行（它們只在共有的無窮遠點「相會」）；一條鉛直線與一個結束於同一 x 軸點的半圓同樣互為極限平行。它與圓盤是完全相同的幾何——有一個明確的莫比烏斯映射把一個模型搬到另一個——只是另一張、往往更方便的圖卡。