克萊因模型（Klein model）
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克萊因模型（又稱貝爾特拉米-克萊因模型，紀念引入它的貝爾特拉米（Beltrami）與研究它的克萊因（Klein））是雙曲平面在一個開圓盤內的又一幅忠實地圖——但比龐加萊圓盤多了一個令人欣喜的簡化。它的點同樣是嚴格落在邊界圓內部的所有點。報酬是：這裡的雙曲「直線」真的就是歐氏直線——具體地，是圓盤的一條開弦（連接兩個邊界點、不含端點的直線段）。不必畫弧，不必檢查正交條件；直就是直。
這使平行性極為直觀。過圓盤內一點 P，畫出它不相交的那條弦 L；過 P 而留在圓盤內又不與 L 相交的每條弦都是平行線，你一眼就能看見它們的整片扇面，介於兩條與 L 在圓周上共端點的弦之間——那兩條就是極限平行線，只在邊界上輕觸 L。於是「無窮多條平行線」的現象，僅憑一把直尺就攤開了。正是這份直度，使此模型對雙曲幾何中接合、介於與凸性的問題格外好用。
每個模型都要付代價，這裡付的是角度。克萊因模型不保角：用量角器量得的兩弦夾角，一般不是真正的雙曲角。一個雙曲直角在紙上可能看似銳角或鈍角。這與龐加萊圓盤恰成鏡像的取捨：龐加萊保住角度而把線弄彎；克萊因保住直線而扭曲角度。依任務選擇圖卡——沒有單一一幅圖能一次把一切都取得正確，這是關於彎曲幾何模型一貫的誠實處。
在克萊因圓盤中，過圓心的雙曲直線與不過圓心的雙曲直線都只是直弦。取一條弦 L 與旁邊一點 P：過 P 而碰到與 L 兩端相同邊界點的兩條弦，是它的極限平行線，而過 P 落在那兩端點之間的任一弦都是超平行線——全都用直尺就看得見，雖然它們的角度讀起來是「錯的」。
這裡的雙曲直線是直弦；模型保住直度，但與龐加萊圓盤不同，它不保角。
別在克萊因模型上用量角器量角還信以為真——它不保角。角度要緊時用龐加萊圓盤，直度與接合要緊時用克萊因模型；兩者描繪的是同一套幾何。