莫比烏斯變換（Mobius transformation）

莫比烏斯變換是把平面的普通動作與唯一真正新增的共形動作「反演」混合在一起的最簡單映射。把它想成在保持每個相交角正確、且永不拆散「直線與圓」這個族的前提下，重排平面的最一般方式。透過複數來看它有個出奇簡潔的公式，這也是它被稱為分式線性變換的原因。

精確地說，把平面當成複數並加上一個單一無窮遠點，莫比烏斯變換是形如 z -> (a z + b) / (c z + d) 的映射，其中 a、b、c、d 是複常數且 a d 減 b c 不等於零（這個條件使映射可逆且非退化）。使分母為零的那一點被送到無窮遠，而無窮遠被送到 a 除以 c，所以這公式在反演平面上處處乾淨運作。每個莫比烏斯變換都是共形的——它保持任意兩條曲線相交之角——並把「直線與圓」這整個族送回自身：直線或圓永遠映到直線或圓，儘管直線可能變成圓、反之亦然。它也保持任意四點的交比，這是基本的莫比烏斯不變量。值得注意的是，這些映射恰恰是平移、旋轉、縮放、反演的合成，所以它們是共形幾何的構件。一個便於計算的乾淨事實：莫比烏斯變換完全由它把任意三相異點送到哪裡所決定，而且把三給定點送到另三給定點的變換恰好只有一個。

莫比烏斯變換在整個數學中居於核心地位。它們構成反演平面與黎曼球的對稱群；它們是雙曲幾何標準模型的等距變換，所以雙曲平面的剛體運動字面上就是這些分式公式；它們也遍布複分析。要提防一個告誡：雖然莫比烏斯變換把「直線與圓」之集送回自身，它一般不保持圓心或半徑，而且通常不把直線送成直線——直線性不是莫比烏斯不變量，唯有「屬於直線或圓這個合併族」才是。