共形幾何（conformal geometry）

想像一張把面積扭曲得很厲害的世界地圖——格陵蘭看起來和非洲一樣大——可是在每一個點上羅盤方向仍然正確，所以地面上兩條道路以直角相交之處，在地圖上也以直角相交。這樣的地圖保持角而捨棄大小。共形幾何正是這個性質的幾何：它研究保角映射所保持的東西，這些變換可以自由地拉伸與彎折圖形，卻永遠讓兩條相交曲線之間的角保持完好。

在愛爾蘭根的架構中，共形幾何——在平面上最整潔、全域一致的形式下——是其群為莫比烏斯群的幾何：作用在「平面加一個額外點」上的變換，由旋轉、平移、均勻縮放、以及一個新動作「圓上的反演」合成而得。每個這樣的映射都保持角，包括任意兩條曲線相交之角的大小與方向，但它不一定保持長度、面積、直線性、甚至不一定保持「直線」與「圓」的區別。關鍵不變量是角，以及更微妙的——四點的交比、與「直線與圓」合在一起的這個族；失去的東西包括長度、面積、以及直線對圓的分別，因為反演能把直線變成圓。這就是為何這些映射在反演平面上研究：在普通平面上加一個單一無窮遠點，於是直線只是恰好通過該點的圓。

共形幾何是幾何與複分析的交會處：在平面上，保定向的共形映射恰恰是由導數非零的解析函數（holomorphic function）所給出的映射，所以整套解析函數理論其實是共形幾何的化身。在任何角要緊而大小不要緊的地方它都不可或缺——流體流動、靜電學、保角航海圖的設計、以及雙曲幾何的標準模型，其等距變換正是莫比烏斯變換。一個常見的混淆是期待共形映射看起來「相似」於原圖；它們只在無窮小尺度上保角，所以一個大正方形可以被彎成一塊到處局部保角、整體卻完全不像正方形的彎曲區域。